کی بود گفت بُعد چهارم؟!

یکی از اسرارآمیزترین مفاهیم فیزیک، که نقش مهمی در نجوم و کیهان شناسی ایفا کرده و می کند، بُعد چهارم و ابعاد بالاتر است.

در ذهن عوام وقتی از بعد چهارم سخنی رانده شود بلافاصله تصویری از آلبرت اینشتین و زمان تداعی می شود. اما به راستی نخستین کسی که بعد چهارم و ابعاد بالاتر را معرفی کرد چه کسی بود؟

پاسخ به این پرسش را باید با واقعیتی پیوند داد که گرچه فراموش نشده اما مورد بی اعتنایی قرار گرفته است. واقعیتی که شاید اساس نظریه های مهمی چون نسبیت عام را تشکیل می دهد اما به همین علتِ اساسی بودنش، همچون فونداسیون ساختمان، از دیده ها پنهان است؛

واقعیتی به نام ریاضیات. مفاهیم ریاضی که ریاضی دانان خلق کرده اند و می کنند و بی سر و صدا موجب دگرگونی علم می شوند.

بُعد چهارم یکی از همین مفاهیم است که نخستین بار در حوزه ی ریاضیات مطرح شد و سپس ابزاری شد در دست فیزیک دانان و کیهان شناسان.

تولد بعد چهارم و ابعاد بالاتر باز می گردد به دهم جون سال 1854 میلادی؛ زمانی که ریاضی دان جوان و نامی اما فقیر و بیمار، به نام برنهارت ریمان، پس از یک دوره چند ماهه بیماری عصبی، سخنرانی عجیبی را در این روز به یاد ماندنی در دانشگاه گوتینگن آلمان ارایه کرد.

در این روز بزرگ بود که هندسه ی کلاسیک اقلیدسی با همه تقدس و قدمت دو هزار ساله اش، چونان نظریه ی زمین مرکزی، فرو ریخت و ریمان را، مانند کپرنیک، شهره ی تاریخ علم کرد. هندسه ی اقلیدسی، که بیش از دو هزار سال جهان را فقط در قالب سه بُعد طول و عرض و ارتفاع بیان کرده بود، در همین یک روز به یک باره فرو ریخت و از خرابه های آن نظریه ی ابعاد بالاتر با اندیشه ی جادویی ریاضی دانی جوان شکل گرفت.

همه ی ما با قضیه ی فیثاغورث آشناییم؛ راهی برای پیدا کردن طول قطر مربع، این قضیه را می توان برای محاسبه ی طول قطر یک مکعب، یعنی فضای سه بُعدی، تعمیم داد. اما ریمان جوان در همین جا متوقف نشد و این قضیه را در بُعد چهارم برای یک ابَرمکعب اثبات کرد و سپس آن را به فضای N – بعدی نیز تعمیم داد و این گونه بود که ریاضیات باور کرد می توان به ابعاد بالاتر هم فکر کرد.

امروزه، ابعاد بالاتر امیدهایی برای توجیه وجود جهان های موازی، و رویدادهای متافیزیکی به وجود آورده است. رویدادهایی که اهالی علم، به سبب نداشتن توجیهات عقلانی برای اثبات آن ها، با ناامیدی منکرشان می شدند.

اینک، در حدود 160 سال پس از این واقعه، فیزیک دانان هنوز در تلاش اند تا با توسل به ابعاد بالاتر راهی برای ساده کردن قوانین فیزیک و رسیدن به آرزوهای بزرگی چون آشتی نظریه ی نسبیت عام و کوانتوم، یا اتحاد بزرگ، پیدا کنند.

امروز فیزیک دانان پی برده اند که قوانین فیزیک در ابعاد بالاتر ساده تر می شوند و راه های فرار بسیاری برای خلاصی از بن بست های فیزیک و کیهان شناسی ایجاد می شود و این محور اندیشه های ریمان بود که 160 سال پیش، حتی تا سر حدّ بیماری، به آن فکر می کرد.

اما به لحاظ فیزیکی بُعد چهارم زمانی جدی تر مورد توجه قرار گرفت که شعبده باز و مدعی احضار ارواح، به نام هنری سلید، دادگاهی را که برای رسیدگی به جرایمش تشکیل شده بود با اعمال عجیب و غریب و تکرار ادعاهایش به سُخره گرفت و همه را در حیرت فرو برد.

این گونه بود که دادگاه دست به دامن فیزیک دانان سرشناسی چون یوهان زولئر، ویلیام کروکس (مخترع لامپ اشعه ی کاتدی که اساس کار تلویزیون هاست)، ویلهلم وِبِر، جی تامسون (کاشف الکترون)، و لُرد رایلی شد و البته آن ها هم مبهوت از شعبده بازی های سلید دست به دامان بُعد چهارم شدند با این توجیه که راز همه ی آنچه سلید انجام می دهد دستیابی به بُعد چهارم است.

نظریه ی ابعاد بالاتر، با همه ی اسرارآمیز بودنش، نقش ویژه ای در جدیدترین نظریه های بیان کننده ی آفرینش و خلقت چون نظریه ی ابَر ریسمان دارد و هنوز هم باید منتظر ماند و دید که نظریه ی ابعاد بالاترراه را برای درک بیشتر انسان از لحظات اولیه ی انفجار بزرگ و ساز و کارهای فعلی جهان خلقت و سرنوشت نهایی جهان هستی هموار می کند.

تاریخچه منطق فازی

زمانی که در سال ۱۹۶۵ پروفسور لطفی زاده، استاد ایرانی الاصل دانشگاه برکلی، اولین مقاله خود را در زمینه فازی تحت عنوان مجموعه های فازی (FUZZY TEST) منتشر کرد، هیچ کس باور نداشت که این جرقه ای خواهد بود که دنیای ریاضیات را به طور کلی تغییر دهد.
زمانی که در سال ۱۹۶۵ پروفسور لطفی زاده، استاد ایرانی الاصل دانشگاه برکلی، اولین مقاله خود را در زمینه فازی تحت عنوان مجموعه های فازی (FUZZY TEST) منتشر کرد، هیچ کس باور نداشت که این جرقه ای خواهد بود که دنیای ریاضیات را به طور کلی تغییر دهد. 

گرچه در دهه ۱۹۷۰ و اوایل دهه ۱۹۸۰ مخالفان جدی برای نظریه فازی وجود داشت، اما امروزه هیچ کس نمی تواند ارزش های منطق فازی و کنترل های فازی را منکر شود.

افتخار هر ایرانی است که پایه علوم قرن آینده از نظریات یک ایرانی می باشد؛ باید قدر این فرصت را دانست و در تعمیم نظریه فازی و استفاده از آن کوشش و تلاش کرد.

زمینه های پژوهش و تحقیق در نظریه فازی بسیار گسترده می باشد؛ پژوهشگران علاقه مند می توانند با پژوهش و تحقیق در این زمینه باعث رشد و شکوفایی هرچه بیشتر نظریه فازی شوند.

در این مقاله سعی شده است که خوانندگان محترم با نظریه فازی و تاریخچه آن آشنا شوند و زمینه های تحقیق و پژوهش مورد بررسی قرار گیرد.

امید است که بتوان قدمی هر چند کوچک در جهت تعالی کشور عزیزمان ایران برداریم

● تاریخچهٔ مجموعه های فاز

نظریهٔ مجموعه فازی در سال ۱۹۶۵ توسط پروفسور لطفی عسگرزاده، دانشمند ایرانی تبار و استاد دانشگاه برکلی امریکا عرضه شد.

اگر بخواهیم نظریه مجموعه های فازی را توضیح دهیم، باید بگوییم نظریه ای است برای اقدام در شرایط عدم اطمینان؛ این نظریه قادر است بسیاری از مفاهیم و متغیرها و سیستم هایی را که نادقیق و مبهم هستند، صورت بندی ریاضی ببخشد و زمینه را برای استدلال، استنتاج، کنترل و تصمیم گیری در شرایط عدم اطمینان فراهم آورد.

پرواضح است که بسیاری از تصمیمات و اقدامات ما در شرایط عدم اطمینان است و حالت های واضح غیر مبهم، بسیار نادر و کمیاب می باشند.

نظریهٔ مجموعه های فازی به شاخه های مختلفی تقسیم شده است که بحث کامل و جامع در مورد هر شاخه، به زمان بیشتر و مباحث طولانی تری احتیاج دارد.

در این مبحث که با انواع شاخه های فازی و کاربرد آنها آشنا می شویم، تلاش شده است که مباحث به صورت ساده ارائه شود و مسائل بدون پیچیدگی های خاص مورد بررسی قرار گیرد.

همچنین تلاش شده است که جنبه های نظری هر بحث تا حد امکان روشن شود؛ گرچه در بسیاری موارد به منظور اختصار، از بیان برهان ها چشمپوشی شده است و علاقه مندان را به منابع ارجاع داده ایم. مطالعه این پژوهش می تواند زمینه ای کلی و فراگیر دربارهٔ اهم شاخه های نظریه مجموعه های فازی فراهم آورد؛ اما علاقه مندان می توانند با توجه به نوع و میزان علاقه و هدف خود، به مراجع اعلام شده، مراجعه نمایند.

● تاریخچهٔ مختصری از نظریه و کاربردهای فازی

▪ دههٔ ۱۹۶۰ آغاز نظریه فازی

نظریه فازی به وسیله پروفسور لطفی زاده در سال ۱۹۶۵ در مقاله ای به نام مجموعه های فازی معرفی شد.

ایشان قبل از کار بر روی نظریه فازی، یک استاد برجسته در نظریه کنترل بود. او مفهوم «حالت» را که اساس نظریه کنترل مدرن را شکل می دهد، توسعه داد.

عسگرزاده در سال ۱۹۶۲ چیزی را بدین مضمون برای سیستم های بیولوژیک نوشت: ما اساساً به نوع جدید ریاضیات نیازمندیم؛ ریاضیات مقادیر مبهم یا فازی که توسط توزیع های احتمالات قابل توصیف نیستند.

وی فعالیت خویش در نظریه فازی را در مقاله ای با عنوان «مجموعه های فازی» تجسم بخشید.

مباحث بسیاری در مورد مجموعه های فازی به وجود آمد و ریاضیدانان معتقد بودند نظریه احتمالات برای حل مسائلی که نظریه فازی ادعای حل بهتر آن را دارد، کفایت می کند.

دههٔ ۱۹۶۰ دههٔ چالش کشیدن و انکار نظریه فازی بود و هیچ یک از مراکز تحقیقاتی، نظریه فازی را به عنوان یک زمینه تحقیق جدی نگرفتند.

اما در دههٔ ۱۹۷۰، به کاربردهای عملی نظریه فازی توجه شد و دیدگاه های شک برانگیز درباره ماهیت وجودی نظریه فازی مرتفع شد.

استاد لطفی زاده پس از معرفی مجموعهٔ فازی در سال ۱۹۶۵، مفاهیم الگوریتم فازی را در سال ۱۹۶۸، تصمیم گیری فازی را در سال ۱۹۷۰ و ترتیب فازی را در سال ۱۹۷۱ ارائه نمود. ایشان در سال ۱۹۷۳ اساس کار کنترل فازی را بنا کرد

این مبحث باعث تولد کنترل کننده های فازی برای سیستم های واقعی بود؛ ممدانی (Mamdani) و آسیلیان (Assilian) چهارچوب اولیه ای را برای کنترل کننده فازی مشخص کردند. در سال ۱۹۷۸ هومبلاد (Holmblad) و اوسترگارد(Ostergaard) اولین کنترل کننده فازی را برای کنترل یک فرایند صنعتی به کار بردند که از این تاریخ، با کاربرد نظریه فازی در سیستم های واقعی، دیدگاه شک برانگیز درباره ماهیت وجودی این نظریه کاملاً متزلزل شد.

دههٔ ۱۹۸۰ از لحاظ نظری، پیشرفت کندی داشت؛ اما کاربرد کنترل فازی باعث دوام نظریه فازی شد.

مهندسان ژاپنی به سرعت دریافتند که کنترل کننده های فازی به سهولت قابل طراحی بوده و در مورد بسیاری مسائل می توان از آنها استفاده کرد.

به علت اینکه کنترل فازی به یک مدل ریاضی نیاز ندارد، می توان آن را در مورد بسیاری از سیستم هایی که به وسیلهٔ نظریه کنترل متعارف قابل پیاده سازی نیستند، به کار برد.

سوگنو مشغول کار بر روی ربات فازی شد، ماشینی که از راه دور کنترل می شد و خودش به تنهایی عمل پارک را انجام می داد.

یاشونوبو (Yasunobu) و میاموتو (Miyamoto) از شرکت هیتاچی کار روی سیستم کنترل قطار زیرزمینی سندایی را آغاز کردند. بالاخره در سال ۱۹۸۷ پروژه به ثمر نشست و یکی از پیشرفته ترین سیستم های قطار زیرزمینی را در جهان به وجود آورد.

در دومین کنفرانس سیستم های فازی که در توکیو برگزار شد، درست سه روز بعد از افتتاح قطار زیرزمینی سندایی، هیروتا (Hirota) یک روبات فازی را به نمایش گذارد که پینگ پونگ بازی می کرد؛ یاماکاوا (Yamakawa) نیز سیستم فازی را نشان داد که یک پاندول معکوس را در حالت تعادل نشان می داد. پس از این کنفرانس، توجه مهندسان، دولتمردان و تجار جلب شد و زمینه های پیشرفت نظریه فازی فراهم شد.

▪ دههٔ ۱۹۹۰ ، توجه محققان امریکا و اروپا به سیستم های فازی

موفقیت سیستم های فازی در ژاپن، مورد توجه محققان امریکا و اروپا واقع شد و دیدگاه بسیاری از محققان به سیستم های فازی تغییر کرد.

در سال ۱۹۹۲ اولین کنفرانس بین المللی در مورد سیستم های فازی به وسیله بزرگترین سازمان مهندسی یعنی IEEE برگزار شد.

در دههٔ ۱۹۹۰ پیشرفت های زیادی در زمینهٔ سیستم های فازی ایجاد شد؛ اما با وجود شفاف شدن تصویر سیستم های فازی، هنوز فعالیت های بسیاری باید انجام شود و بسیاری از راه حل ها و روش ها همچنان در ابتدای راه قرار دارد. بنابراین توصیه می شود که محققان کشور با تحقیق و تفحص در این زمینه، موجبات پیشرفت های عمده در زمینهٔ نظریه فازی را فراهم نمایند.

منبع

نمایش پهلوانی

شاید تاکنون هنگام گذر از خیابان به یک معرکه‌ی پهلوانی که جمعیت بسیاری دور آن مشتاقانه حلقه زده‌اند، برخورد کرده‌اید. پهلوانی که ادعا می‌کند: دو کامیون را همزمان می‌تواند چنان نگه دارد که هیچ کدام نتوانند جابه‌جا شوند. در این لحظه در مورد کار او چه فکر می‌کنید؟ شاید در بدو امر فکر کنید که این حقه‌ای بیش نیست و کامیون‌ها اصلاً نیرویی به پهلوان وارد نمی‌کنند، یا به عبارت بهتر حرکت شان نمایشی است. شاید هم پیش خودتان فکر کنید این مرد حتماً از یک نیروی ماوراءطبیعی برخوردار است، ولی باید بگوییم که هر دو حدس تان کاملاً اشتباه‌ است. چون هم حرکت ماشین‌ها واقعی است و هم پهلوان ما یک انسان معمولی بیش‌تر نیست.
حالا اجازه دهید برای تان قصه‌ی این پهلوانی و راز این مرد پهلوان را بازگو کنیم. دو کامیون M,N (شکل 1) در خلاف جهت هم قرار دارند. کابل AB در نقطه‌ی A به شاسی کامیون M و در نقطه‌ی B به شاسی کامیون N بسته شده، نقطه‌ی وسط این کابل را در نظر می‌گیریم و C می‌نامیم. حالا کابل را بین دو تخته چرم چنان می‌دوزیم که C داخل و وسط چرم باشد.

 

 شکل 1

پهلوان نمایش ما، تخته‌ی چرم را روی سینه‌ی خود می‌گذارد و با سینه‌ی خود به آن فشار می‌آورد و با دو دست خود کابل را در دو نقطه‌ی D و E می‌گیرد. البته توجه کنید که طول کابل AB را نسبت به پهنای شانه‌ی پهلوان بسیار بزرگ می‌گیریم.
نمایش شروع می‌شود. دو راننده ، کامیون‌ها را روشن می‌کنند و هر کدام کامیون‌ خود را به طرف جلو هدایت می‌کند. پهلوان با سینه‌ی خود به تخته چرم فشار وارد می‌کند و با دو دست خود ،دو تکه کابل CA و CB را با نیرویی که خیلی زیاد نیست ولی با یک قیافه‌ی ساختگی که نشان‌گر تلاش بسیار زیاد اوست، به طرف خود می‌کشد.
راز پهلوان ما در حکمی که در زیر می آوریم ، نهفته است :
از آن جایی که طول AB به نسبت پهنای شانه‌ی پهلوان، بسیار بزرگ است، CA و CB دو پاره‌خط راست دیده می‌شوند، پهلوان در حقیقت در جایی قرار می‌گیرد که زاویه‌ی دو پاره‌خط CA و CB به ْ180 خیلی نزدیک باشد.
نیرویی که پهلوان با سینه‌ی خود به تخته چرم وارد می‌کند در دستگاه مختصاتی که مبدا آن C ومحورهایش بر CA و CB واقع اند ،به دو نیروی و تجزیه می‌شود. این نیرو را با نمایش می‌دهیم. (شکل 2)

 

M را وسط در نظر می‌گیریم.
از آن جا که پس خواهیم داشت:
از طرفی پس : ، چون زاویه ی Cبه ْ180 بسیار نزدیک است، پس زاویه‌ی بسیار کوچک خواهد بود و لذا سینوس این زاویه هم بسیار کوچک خواهد بود. پس طبق (*) ، CP در برابر خیلی کوچک است و این یعنی پهلوان با نیروی کمی می تواند این نمایش را اجرا کند .

منبع

مدال فیلدز(دوره ی اول)

مدال فیلدز(Fields Medal) یک جایزه‌ی ممتاز برای دو، سه یا چهار ریاضی دان زیر چهل سال است که هر چهار سال یک بار از طرف اتحادیه ی بین‌المللی ریاضیات(IMU) اهدا می‌شود. اهدای این مدال توسط ریاضی‌دان کانادایی "جان چارلز فیلدز" بنیان نهاده شد و اولین بار در سال 1936 به دو ریاضی دان اهدا شد و از سال 1950 تا کنون ،به طور منظم اهدا شده است .

 

هدف از اهدای این مدال، شناسایی و پشتیبانی محققان جوان و برتر ریاضی است و افتخار بزرگی برای برنده ی آن محسوب می شود.این مدال از جنس طلا بوده و با یک جایزه ی نقدی همراه است که مقدار آن در سال 2006، 15000 دلارکانادا بوده است.

در اعتبار این مدال ،همین بس که برای ریاضی‌دان ها مانند جایزه‌ی نوبل برای علوم دیگر است. البته مدال فیلدز را به هیچ وجه نمی‌توان با جایزه‌ی نوبل مقایسه کرد. چون جایزه ی نوبل هر سال اهدا می شود و دارای محدودیت سنی نمی باشد و مقدار جایزه ی نقدی آن در حال حاضر کمی بیش از  4/1 میلیون دلار آمریکا است  .
این مدال معمولاً به کسانی اهدا می‌شود که کار خارق العاده و چشمگیری در ریاضیات ارائه می کنند .
جوایز دیگری هم در ریاضیات وجود دارند مانند:جایزه‌ی ولف(Wolf Prize) و جایزه‌ی آبل(Abel Prize) .

دوره‌ی اول(1936،Oslo):

اولین دوره ی اهدای مدال فیلدز در شهر اسلو(Oslo)پایتخت نروژ برگزار شد .
برندگان این دوره،دو نفر بودند: 1) لارس آلفورس - 2)جس داگلاس که مختصرا" به زندگی‌نامه‌ی هر یک می‌پردازیم:

1- لارس آلفورس(Lars Ahlfors) :
لارس والرین آلفورس در 18 آوریل سال 1907در هلسینکی (پایتخت فنلاند) به دنیا آمد . درسال 1924 در دانشگاه هلسینکی مشغول به تحصیل شد و در سال 1928 زیر نظر اساتیدی چون "ارنست لیندلف" و"رولف نوانلینا" فارغ‌التحصیل شد. درسال 1929 در زمینه‌ی حدس "دن جوی"(Denjoy) در مورد مقادیر مجانبی توابع تام با نوانلینا همکاری داشت .

 

آلفورس به عنوان سخنران در ریاضیات در آکادمی آبو (در فنلاند) منصوب شد. در سال1930 دکترا گرفت ، در سال 1935 به دانشگاه هاروارد رفت و درسال 1936 یکی از دو نفری بود که مدال فیلدز به وی اهدا شد.
در سال 1938 برای گرفتن پستی در دانشگاه هلسینکی به فنلاند برگشت اما با وقوع جنگ جهانی به مشکلاتی برخورد کرد چرا که برای انجام خدمت سربازی مناسب نبود. درسال 1944 از موسسه ی فن آوری فدرال سوئیس در زوریخ پستی به آلفورس پیشنهاد شد و او در سال 1945 رهسپار زوریخ شد. وی از ماندن در زوریخ لذت نمی‌برد و بنابراین پس از مدتی به دانشگاه هاروارد برگشت و تا زمان بازنشستگی (سال 1977) در آن جا ماند. آلفورس در سال 1968 جایزه‌ی "Vihuri" و در سال 1981 جایزه‌ی ولف را به دست آورد. کتاب آنالیز مختلط او هنوز هم به عنوان یک کتاب استاندارد برای اکثر دوره‌ها استفاده می‌شود. سرانجام وی در 11 اکتبر سال 1996 چشم از جهان فرو بست.


2) جس داگلاس(Jesse Douglas):
جس داگلاس در سوم جولای سال 1897 در شهر نیویورک به دنیا آمد.در سال 1916 از کالج شهری نیویورک فارغ التحصیل شد و برای ادامه ی تحصیل به دانشگاه کلمبیا رفت .در سال 1930 به خاطر حل مسأله ی Plateu مورد تقدیر قرار گرفت ، این مسأله در سال 1760 توسط لاگرانژ مطرح شد و موضوع آن : "وجود رویه‌ی مینیمال" ( مساله ای در هندسه) بود.

 

داگلاس در سال 1943 از انجمن ریاضی آمریکا، جایزه‌ی "Bocher" را دریافت کرد. وی ده سال آخر عمرش را به عنوان استاد در کالج شهری نیویورک (CCNY) سپری کرد و در آن جا دروسی چون حساب دیفرانسیل و انتگرال پیشرفته را تدریس کرد.وی در 7 اکتبر سال 1965 چشم از جهان فرو بست.

منبع